问题: 请教一个不等式
己知a,b,c,是正数,且a^2+b^2+c^2=1.试证
a/(1-a^2)+b/(1-b^2)+c/(1-c^2)≥3√3/2
解答:
己知a,b,c,是正数,且a^2+b^2+c^2=1.试证
a/(1-a^2)+b/(1-b^2)+c/(1-c^2)≥3√3/2.
证明 对于x∈(0,1),总存在
x/(1-x^2)≥(3√3*x^2)/2 (1)
<===> [x(√3*x-1)^2*(√3*x+2)]/[2(1-x^2)]
在(1)式分别取x=a,b,c,得:
a/(1-a^2)≥(3√3*a^2)/2 (2-1)
b/(1-b^2)≥(3√3*b^2)/2 (2-2)
c/(1-c^2)≥(3√3*c^2)/2 (2-3)
(2-1)+(2-2)+(2-3)得:
a/(1-a^2)+b/(1-b^2)+c/(1-c^2)≥[(3√3)/2]*(a^2+b^2+c^2)
=(3√3)/2.
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