【1】如果两圆外离外公切线的交点P、内公切线的交点Q都是位似中心。
【2】两圆外切，也是有两个位似中心：外公切线的交点P和两圆的切点Q。
【3】如果两圆相交，只有一个位似中心——外公切线的交点P。
【4】如果小圆内切于大圆，则只有一个位似中心——它们的切点P。

以上情况都比较容易证明，最复杂的情况是：

【5】如果小圆内含于大圆，则也只有一个位似中心P。

它在公共的直径（必经过过O1O2）上，如图作与公共直径垂直的直径A1B1和A2B2。则A1A2与与公共直径的交点P就是位似中心。

根据上面作图方法，可知相似比是
PA1：PA2=PO1：PO2=A1O1：A2O2=R1：R2，下面作严格证明
现在过P任意作一条直线交小圆于C2，O2C2=R2，
延长PC2至C1，使PC1：PC2=R1：R2，
则PC1：PC2=PO1：PO2，所以△PC1O1∽△PC2O2，
所以O1C1：O2C2=R1：R2，那么O1C1=R1，说明C1在大圆上，证明完毕。