一道几何竞赛题以前看到过，忘了如何证明了。
非钝角三角形的三条中线组成的三角形，它的外接圆半径大于原三角形外接圆半径的5/6。

证明 设非钝角三角形ABC的三边长为a,b,c，相对应的中线分别为ma,mb,mc，R,S为非钝角三角形ABC的外接圆半径和面积。
而以三角形三中线组成的三角形的面积为3S/4。
根据三角形恒等式:abc=4R*S，故只需证明:
8ma*mb*mc>5abc (1)
即 64(ma*mb*mc)^2>25(abc)^2 (2)
据三角形中线公式:
4(ma)^2=2b^2+2c^2-a^2，
4(mb)^2=2c^2+2a^2-b^2，
4(mc)^2=2a^2+2b^2-c^2，
因为三角形是非钝角三角形，则
b^2+c^2-a^2>=0，c^2+a^2-b^2>=0,a^2+b^2-c^2>=0，
注意三式不可能同时取零，当直角三角形时，有一为零。
设x,y,z为非负实数，
令2x=b^2+c^2-a^2，2y=c^2+a^2-b^2,2z=a^2+b^2-c^2。
则a^2=y+z,b^2=z+x,c^2=x+y。
对(2)式作置换等价于:
(4x+y+z)*(4y+z+x)*(4z+x+y)>25*(y+z)*(z+x)*(x+y)
x^3+y^3+z^3-x^2*(y+z)-y^2*(z+x)-z^2*(x+y)+7*x*y*z>0 (3)

(3)式是全对称的，不失一般性，设x=min(x,y,z)，(3)化简整理等价于
x(x-y)*(x-z)+(y+z-x)(y-z)^2+4xyz>0，显然成立。