已知：如图，△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D、E分别为斜边AB上的点，且∠DCE=45°，求证：DE²=AD²+BE²
如图
过点B作AB的垂线，在该垂线上截取BF=AD，连接CF、EF
设∠ACD=∠1，∠BCE=∠2，∠BCF=∠3
因为，△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°
即，△ABC为等腰直角三角形
所以，∠A=∠ABC=45°
又，BF⊥AB
所以，∠FBA=90°
所以，∠FBC=∠FBA-∠ABC=90°-45°=45°=∠DAC
所以，在△ACD和△BCF中：
AC=BC（已知）
∠DAC=∠FBC=45°（已证）
DA=FB（所作）
所以，△ACD≌△BCF（SAS）
所以，∠1=∠3，CD=CF
又因为，在Rt△ACB中，∠ACB=90°
已知，∠DCE=45°
所以，∠1+∠2=∠ACB-∠DCE=90°-45°=45°
所以，∠3+∠2=45°
即，∠FCE=∠DCE=45°
所以，在△FCE和△DCE中：
CF=CD（已证）
∠FCE=∠DCE=45°（已证）
CE公共
所以，△FCE≌△DCE（SAS）
所以，EF=DE
而，在Rt△EBF中，由勾股定理有：EF^2=BE^2+BF^2=BE^2+AD^2
所以，DE^2=BE^2+AD^2
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