三角形三角不等式:在△ABC中,证明
9/4≥[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2

楼上的证明很好，实际上由已知恒等式:
[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2=(4R+r)/(2R)
及欧拉不等式 R≥2r,即可证明.

上述证法中学生不易接受.下面结出更一般的证明.

设t≥1/2,则有
t*[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2≤(2t+1)^2/(4t)

简证如下
所证不等式化简等价于
4[sin(A/2)]^2*t^2+4{[sin(B/2)]^2+[sin(C/2)]^2-1}t+1≥0
上式可看作t的一元两次式,由判别式只需证
4[sin(A/2)]^2-4{[sin(B/2)]^2+[sin(C/2)]^2-1}^2≥0
<===>
4[sin(A/2)]^2-[cosB+cosC]^2≥0
<====>
4[sin(A/2)]^2*{1-[cos(B-C)/2]^2}≥0
上式显然成立.

∵A→180°,B→0,C→0时,

t*[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2→2.
∴(2t+1)^2/(4t)≥2,
解得 t≥1/2.

取t=1,即得:
[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2≤9/4.