如图所示，⊙O是⊿ABC的外接圆，∠ACB=90°,弦CD平分∠ACB，交AB与点E，连接AD,BD
(1)写出图中所有相似三角形；
(2)求(AC+BC)/CD的值

如图所示，⊙O是⊿ABC的外接圆，∠ACB=90°,弦CD平分∠ACB，交AB与点E，连接AD,BD
(1)写出图中所有相似三角形；
如图
根据同弧所对的圆周角相等，可以得到：
∠ACD=∠ABD、∠BCD=∠BAD、∠ABC=∠ADC、∠BAC=∠BDC
又，由对顶角相等得到：∠AEC=∠BED、∠AED=∠CEB
所以，△CEA∽△BED、△CEB∽△AED

(2)求(AC+BC)/CD的值
已知∠ACB=90°，所以AB为圆O的直径
所以，∠ADB=90°
又，CD为∠ACB的角平分线
所以，∠ACD=∠BCD=45°
所以，∠BAD=∠ABD=45°
即，△ADB为等腰直角三角形
在Rt△ACB中，设AC=b，BC=a
则，由勾股定理有：AB^2=AC^2+BC^2=a^2+b^2
所以，AB=√(a^2+b^2)
所以，在等腰直角三角形ADB中，AD=BD=AB/√2=√(a^2+b^2)/√2
且，因为CD为∠ACB的平分线
所以，在△ACB中，有：AC/BC=AE/BE
所以，AE/BE=a/b
而，AE+BE=AB=√(a^2+b^2)
所以：AE=b√(a^2+b^2)/(a+b)、BE=a√(a^2+b^2)/(a+b)
由(1)的结论知：△CEA∽△BED、△CEB∽△AED
所以：CE/BE=AC/BD
则，CE=(BE*AC)/BD=[a√(a^2+b^2)/(a+b)]*b/[√(a^2+b^2)/√2]=√2(ab)/(a+b)…………………………………………（1）
同理，AE/DE=AC/BD
则，DE=(AE*BD)/AC=[b√(a^2+b^2)/(a+b)]*[√(a^2+b^2)/√2]/b=(a^2+b^2)/[√2(a+b)]…………………………………（2）
所以，由(1)(2)得到：
CD=CE+DE=√2(ab)/(a+b)+(a^2+b^2)/[√2(a+b)]
=(a^2+b^2+2ab)/[√2(a+b)]
=(a+b)^2/[√2(a+b)]
=(a+b)/√2……………………………………………………（3）
则：(AC+BC)/CD=(a+b)/[(a+b)/√2]=√2

特别地，当△ACB也是等腰直角三角形时，最后得到的四边形ACBD就是一个正方形，此时，CD也是圆O的直径
则，设AC=BC=a
那么，由勾股定理知，圆O的直径=√2a
即，CD=√2a
所以，(AC+BC)/CD=(a+a)/√(2a）=√2