若14(a^2+b^2+c^2)=(2b+3c)^2,求a:b:c.

14(a^2+b^2+c^2)=(2b+3c)^2
等价于
14a^2+10b^2-12bc+5c^2=0，
即
14a^2+b^2+c^2+(3b-2c)^2=0，
只能是a=b=c=0，这时求a:b:c没有意义。
注意:当a、b、c全为0时，千万不能说 a:b:c=0:0:0。

如果a、b、c是复数，那么虽然问题是有意义的，但是答案不能唯一确定，有一个自由度。


【根据你现在的修改，重做如下】
14(a^2+b^2+c^2)=(a+2b+3c)^2
等价于
13a^2+10b^2+5c^2-4ab-6ac-12bc=0，
即
(2a-b)^2+(3b-2c)^2+(c-3a)^2=0，
所以2a=b，3b=2c，c=3a，
所以6a=3b=2c，
a:b:c=1/6:1/3:1/2，
即a:b:c=1:2:3。