在正△ABC的边BC上任取一点D，设△ABD与△ACD的内心分别为I，P，外心分别为O，Q。
求证:(IO)^2+(PQ)^2=(IP)^2

证明 连AO，AQ，AI，DO，DQ，DI，DP，
以A点为原点将△ABD旋转60°度，
此时B与C重心，D的对应点为D'在AC外侧。
显然A,D,C,D’ 四点共圆，
据此可得:
O与Q重合。于是OQ=AO=AQ=OD=QD，
也就是说，△AOQ，△DOQ都是正三角形，
因此得知O点在△ACD的外接圆上。

因为∠DIA=∠IDB+∠BAI+∠B=(∠BAD+∠ADB)/2+60°=120°=∠DOA。
因而△ABD的内心I也在△ACD的外接圆上。
同理: △ACD的内心P也在△ABD的外接圆上。
而OD，QD分别是△ABD，△ACD的外接圆的半径，
于是∠DIO=180°-∠OAD=180°-30°=150°=∠QPD。

又∠PDI=(∠CDA+∠BDA)/2=90°，∠ODQ=60°，
这样便有∠PDQ+∠ODI=30°，
而∠ODI+∠IOD=∠OAI+∠IAD=∠OAD=30°，
所以∠PDQ=∠IOD，从而△PDQ≌△IOD, 于是IO=PD。

在Rt△IDP中，有
(IO)^2+(PQ)^2=(ID)^2+(PD)^2=(IP)^2。