没有思路。。。

这一问题更好述说应该为:
对于正数x,y,z,求使(1)式:
[x/(y+z)+k]*[y/(z+x)+k]*[z/(x+y)+k]≥(k+1/2)^3 (1)
成立的最小k值.

简解如下:
(1)<===>
[x+k(y+z)]*[y+k(z+x)]*[z+k(x+y)]≥(y+z)(z+x)(x+y)(k+1/2)^3

<====>
4k^2*[2∑x(x+y)(x+z)-3∏(y+z)]+2k[∏(y+z)-8xyz]-[∏(y+z)-8xyz]≥0 (2)

∵以y+z,z+x,x+y为边长的三角形的外接圆半径为R,内切圆半径为r,半周长为s.
所以(2)式转化为:
2k^2*(s^2-14Rr+r^2)+2k(R-2r)r-(R-2r)r≥0 (3)

∵s^2-16Rr+5r^2≥0,这个不等式系数为最佳,那么
(3)===>
r(R-2r)*[4k^2+2k-1]≥0

解不等式得:4k^2+2k-1≥0,
k≥(√5-1)/4.


令x→0,y=z.则
k(1+k)^2≥(k+1/2)^3
<===> 4k^2+2k-1≥0,===>k≥(√5-1)/4.