三角形ABC中，角C＝90度，CA=5，CB＝12.自C向角A，角B的平分线作垂线，垂足分别为D，E。那么DE＝？

三角形ABC中，角C＝90度，CA=5，CB＝12.自C向角A，角B的平分线作垂线，垂足分别为D，E。那么DE＝？

解 延长CD交AB于F,延长CE交AB于G.
显然可证:AC=AF,D是CF的中点;BC=BG,E是CG的中点.
故DE=GF/2.
∵∠C＝90度，CA=5，CB＝12.∴AB=13.
∴GF=AF-AG=5-(13-12)=4.
或FG=BG-(AB-AC)=12-(13-5)=4.
故DE=GF/2=2.


BE和CD是三角形ABC的角平分线。求证：D、E到AC、AB的距离之和等于DE的中点到BC距离的2倍。
证明 作DM⊥AC,交AC于M,EN⊥AB,交AB于N.
设DE的中点为K,作KF⊥BC,交BC于F.
命题就是证明 DM+EN=2KF.
过D,E分别BC的垂线,垂足为X,Y.
∵BE和CD是三角形ABC的内角平分线,∴
∴DM=DX,EN=EY.
在直角梯形DXYE中,KF是中位线,
∴2KF=DX+EY.
因此DM+EN=2KF.