在△ABC的边AC,BC上分别取点M,N,在MN上取点L.△ABC,△AML,△BNL的面积分别为S,P,Q.
求证 3√S≥3√P+3√Q.
[3√S表示S开三次方]

在△ABC的边AC,BC上分别取点M,N,在MN上取点L.△ABC,△AML,△BNL的面积分别为S,P,Q.
求证 3√S≥3√P+3√Q.
[3√S表示S开三次方]

证明 设∠AMN=α,∠BNM=β.则
2P=AM*LM*sinα, 2Q=BN*LN*sinβ.
在△CMN中,由正弦定理得:CM/CN=sinβ/sinα.
∴P/Q=AM*LM*sinα/BN*LN*sinβ=AM*LM*CN/BN*LN*CM.
记AM/MC=x^3,CN/NB=y^3,ML/NL=z^3.
∴P=(xyz)^3*Q.

∵2S=AC*BC*sinC=(AM+CM)*(BN+CN)sin(α+β),
MN/CM=sinC/sinβ
∴S/Q=(AM+CM)*(BN+CN)sinC/BN*LN*sinβ
=(AM+CM)*(BN+CN)*MN/BN*LN*CM
=(x^3+1)*(y^3+1)*(z^3+1).
∴S=(x^3+1)*(y^3+1)*(z^3+1)Q.

因此所证不等式等价于
[(x^3+1)*(y^3+1)*(z^3+1)]^(1/3)≥xyz+1 (1)

<===>
(x^3+1)*(y^3+1)*(z^3+1)≥(xyz+1)^3

<===>
∑x^3+∑(yz)^3≥3(xyz)^2+3xyz (2)

∵∑x^3≥3xyz ,∑(yz)^3≥3(xyz)^2

故(2)式成立.