问题: 一个初中几何竞赛题
设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,最大的高为ha,最小的高为hc.求证 hc≤R+r≤ha.
解答:
设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,最大的高为ha,最小的高为hc.求证 hc≤R+r≤ha.
命题不正确，在锐角三角形中成立.
证明 设I,O分别是非钝角△ABC的内心和外心.
令I在高AD上的投影为E,
熟知AI平分∠QAE,
BI在AB上的射影≤AB/2.
∴∠AOI≥90°.
AO<AI*cos(∠OAE/2)=AE.
∴R+r≤AE+DE=ha.
∵O到AB的距离≤r,
∴∠COI是锐角.'R=CO≥hc-r
故R+r≥hc.
所证不等式等价于,0<A≤B≤C≤90°
2sinB*sinC>cosA+cosB+cosC
cosA+cosB+cosC>2sinA*sinB
版权及免责声明
1、欢迎转载本网原创文章，转载敬请注明出处：侨谊留学（www.goesnet.org）；
2、本网转载媒体稿件旨在传播更多有益信息，并不代表同意该观点，本网不承担稿件侵权行为的连带责任；
3、在本网博客/论坛发表言论者，文责自负。
