三角形ABC的三个内角为A,B,C,求当A为何值时,cosA+2cos[(B+C)/2]取得最大值,并求出这个最大值
解:三角形ABC的三个内角为A,B,C→A+B+C=180°→
(A+B+C)/2=90°→(B+C)/2=90°-(A/2)→
cos[(B+C)/2]=cos[90°-(A/2)]=sin(A/2)
∴cosA+2cos[(B+C)/2]=cosA+2sin(A/2)=
1-2sin^(A/2)+2sin(A/2)=
-2[sin^(A/2)-sin(A/2)]+1=
-2[sin(A/2)-(1/2)]^2+(3/2)
当[sin(A/2)-(1/2)]^2=0,取得最大值(3/2)
0°<A<180°→0°<A/2<90°→
此时sin(A/2)=(1/2)→A/2=30°→A=60°
∴当A=60°时,cosA+2cos[(B+C)/2]取得最大值3/2
