问题: 三角不等式
在三角形ABC中，求证
24cosA*cosB*cosC≤[cos(B-C)]^2+[cos(C-A)]^2+[cos(A-B)]^2
解答:
在三角形ABC中，求证
24cosA*cosB*cosC≤[cos(B-C)]^2+[cos(C-A)]^2+[cos(A-B)]^2
证明 由(x+y)^2≥4xy,得:
(cosA+2*cosB*cosC)^2≥8*cosA*cosB*cosC (1)
因为cosA=-cos(B+C)，cos(B+C)=cosB*cosC-sinB*sinC,
cos(B-C)=cosB*cosC+sinB*sinC。所以(1)等价于
[cos(B-C)]^2≥8*cosA*cosB*cosC， (2)
同理可得:
[cos(C-A)]^2≥8*cosA*cosB*cosC， (3)
[cos(A-B)]^2≥8*cosA*cosB*cosC。 (4)
(2)+(3)+(4),即得所证不等式。
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