题 设P是△ABC内部任意一点，过P点作PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB分别交BC，CA，AB于D，E，F。R,r分别表示△ABC的外接与内切半径.
求证:PA*PB*PC≥(R/2r)*(PE+PF)*(PF+PD)*(PD+PE)

设P是△ABC内部任意一点，过P点作PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB分别交BC，CA，AB于D，E，F。R,r分别表示△ABC的外接与内切半径.
求证:PA*PB*PC≥(R/2r)*(PE+PF)*(PF+PD)*(PD+PE)

简证 根据三角形半角恒等式:
sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)=r/(4R)

∵PE=PA*sin∠PAE,PF=PA*sin∠PAF
∴PE+PF=PA*(sin∠PAE+sin∠PAF)
=2PA*sin[(∠PAE+∠PAF)/2]*cos[(∠PAE-∠PAF)/2]
=2PA*sin(A/2)*cos[(∠PAE-∠PAF)/2]
≤2PA*sin(A/2)
所以得
PE+PF≤2PA*sin(A/2) (1)
同理得:
PF+PD≤2PB*sin(B/2) (2)
PD+PE≤2PC*sin(C/2) (3)

(1)*(2)*(3)即得所证不等式.