设I是ΔABC的内心，求证:BC*AI^2+CA*BI^2+AB*CI^2=BC*CA*AB。

证明 设ΔABC的内切圆分别与边BC,CA,AB相切于D,E,F，连结IE,IF,EF。
由于AE=AF, IE=IF，所以IA是EF的垂直平分线，由此可得:
S(EAFI)=AI*EF/2
又A,F,I,E四点共圆，且AI是该圆直径，由正弦定理得:
EF=IA*sinA=IA*BC/(2R) [R为ΔABC的外接圆半径]
所以
S(EAFI)=BC*IA^2/(4R)
同理可得:
S(FBDI)=CA*IB^2/(4R);
S(DCEI)=AB*IC^2/(4R).
将上述三式相加得:
S(ABC)=(BC*AI^2+CA*BI^2+AB*CI^2)/(4R)
又因为 S(ABC)=(BC*CA*sinC)/2=BC*CA*AB/(4R)
因此 BC*AI^2+CA*BI^2+AB*CI^2=BC*CA*AB。